Laboratorio deriva dal latino medievale laboratorium e significa, come si legge nel Dizionario della lingua italiana Devoto Oli: «Locale attrezzato per un'attività specifica, tecnica o scientifica, di carattere sperimentale o anche produttivo; ambiente destinato all'esecuzione di lavori d'artigianato…». A sua volta laboratorium deriva dal latino laborare, che significa faticare. Recuperata l'arcaica accezione risulta evidente che non è fuori luogo parlare di laboratorio nell'insegnamento della matematica: difficilmente infatti si può ottenere qualche risultato significativo senza spendere adeguate energie, siano esse fisiche o mentali.
Il lavoro in laboratorio è un approccio didattico che negli ultimi anni ha assunto un ruolo sempre più importante, più per volere dei ministri della Pubblica Istruzione che per una sentita necessità degli insegnanti e le obiezioni rivolte al massiccio uso che se ne vuol fare sono sia di carattere pratico, legato alle strutture e al tempo che richiede per svolgere argomenti in modo significativo, sia di ordine teorico e culturale. Per quel che riguarda la matematica, di qualche anno fa, in tempi non sospetti, è un libro di Francesco Speranza Idee per un laboratorio di matematica nella scuola dell'obbligo, che può prefigurarsi come l'antesignano di una vera e propria tendenza.

Non va dimenticato che in laboratorio ci si preoccupa soprattutto di fare e anche questo aspetto rientra nell'insegnamento della matematica: occorre «fare matematica», occorre mettere i ragazzi nella condizione di fare matematica, con risultati che non sono materiali, ma di ordine concettuale. Il vantaggio, o meglio uno dei vantaggi, del «fare matematica» consiste nella povertà dei mezzi: non serve un ambiente appositamente attrezzato, si può ottenere ottima matematica usando solo carta e penna e quanto c'è nel mondo che normalmente cade sotto ai nostri sensi.
Che cosa significa fare matematica? Occorre lavorare in modo che gli studenti possano fare esperienza di matematizzazione, ovvero affronto di situazioni, di aspetti del reale (che possono essere astratti) che si possono descrivere in termini matematici, ovvero che possono descrivere usando oggetti matematici con un metodo matematico. Questo è un compito preciso del docente che si declina nel selezionare le attività, proporre e motivare il lavoro, sostenere i passi e aiutare a sciogliere i nodi problematici facendo da punto di riferimento del lavoro rei ragazzi.
Sottolineo di questo processo solo due momenti: la scoperta, la messa a fuoco, che può avvenire per intuizione o per un cammino di analisi, di una ipotesi di lavoro, un tentativo di spiegazione o di soluzione, e la sua verifica. Non è fuori luogo il procedere per tentativi, spesso infatti la prima idea non è quella giusta, ma è così anche per gli scienziati professionisti: tentare però produce aumento di conoscenza solo se anche i risultati del tentativo non riuscito diventano parte della realtà che stiamo trattando, non si può procedere a caso! Si può centrare l'obiettivo se si aggiusta la mira.

Propongo due esempi, uno aritmetico e uno geometrico.
Per permettere la ricerca di una ipotesi di lavoro è utile talvolta proporre "problemi aperti" o testi incompleti (anche problemi mal formulati) su cui si può ragionare insieme.
Per introdurre in prima il ripasso della moltiplicazione e lo studio delle proprietà propongo esercizi del tipo:
«Quanti numeri di tre cifre si possono comporre usando le cifre 1, 2 e 3?»
Subito i ragazzi si pongono il dubbio se si possono ripetere o meno le cifre: l'esercizio è diventato loro, è stato efficace perché ha suscitato una domanda che li ha mossi. In seconda quest'anno abbiamo anticipato l'affronto dei numeri decimali per favorire il passaggio all'euro, ho riproposto un esercizio simile al precedente:
«Quanti numeri decimali si possono comporre usando le cifre 0, 2 e 3?» Il problema se si dovessero ammettere le ripetizioni o meno si è riproposto. Ragionando sul testo in classe con il contributo di molti si è concluso che il testo doveva escludere la ripetizione delle cifre, perché questa volta ripetendo le cifre l'esercizio aveva infinite soluzioni: questo è il vero risultato dell'esercizio più che l'esatta elencazione dei numeri decimali, che poi abbiamo fatto. È stato più interessante ricavare che i numeri decimali con parte intera uguale a zero sono infiniti, perché sono possibili infiniti diversi allineamenti usando le cifre 2 e 3, questa è un aspetto della proprietà che distingue i numeri razionali da i numeri naturali.

Esempio geometrico. Tra gli esercizi che assegno quando affrontiamo i triangoli in prima ci sono sempre esercizi di costruzione: disegna un triangolo con i lati assegnati (e ce n'è sempre uno che non si può fare), oppure disegna dei triangoli con due lati assegnati, oppure disegna un triangolo con due lati assegnati e l'angolo tra essi compreso. In questo contesto affrontiamo la costruzione di angoli notevoli (60°, 30°, 45°).
Quest'anno in terza abbiamo avuto bisogno di un'altra proprietà: in ogni triangolo il baricentro divide la mediana in due parti che sono una doppia dell'altra. In realtà abbiamo "inciampato" in questa proprietà a proposito del triangolo equilatero (serve per calcolare l'altezza del tetraedro regolare).
Si può aiutare i ragazzi a scoprire o solo a verificare e giustificare questa proprietà nel triangolo equilatero: osserviamo che il triangolo si divide in sei triangoli tra loro congruenti (in che modo congruenti?)
Essi hanno gli angoli di 30°, 60°, 90° (quest'ultimo perché nel triangolo equilatero la mediana e l'altezza coincidono, il primo perché nel triangolo equilatero la mediana e la bisettrice coincidono e il secondo per differenza di angoli congruenti, perché la somma degli angoli interni del triangolo è 180°) e un lato congruente (sono ottenuti tracciando le mediane), pertanto i triangoli sono congruenti: di più sono triangoli semiequilateri, e quindi i loro cateti sono uno doppio dell'altro; questa osservazione costituisce la conclusione della giustificazione. Attività di questo genere, specie affrontando la geometria solida, aiutano a scalzare l'affermazione di molti ragazzi: «È vero perché si vede», posizione che si mantiene spesso anche nei primi anni della scuola superiore indice di un mancato serio coinvolgimento degli alunni nel seguire il lavoro secondo il suo sviluppo metodologico.